6.1. Моделирование и формализация

Понятие модели

Модель — это упрощённое представление реального объекта, процесса или явления, которое сохраняет его существенные свойства.

Моделирование — процесс построения и исследования моделей для изучения реальных объектов.

Виды моделей по способу представления:

Тип	Описание	Примеры
Материальные (предметные)	Воспроизводят геометрические и физические свойства	Глобус, макет здания, скелет
Информационные (знаковые)	Описывают объект с помощью знаков и символов	Формулы, таблицы, графики, схемы

Этапы моделирования

1. Постановка задачи — определение цели моделирования
2. Разработка модели — выделение существенных свойств, формализация
3. Компьютерный эксперимент — реализация модели на компьютере
4. Анализ результатов — проверка адекватности модели, корректировка

Классификация моделей

По области использования:

• Учебные — наглядные пособия, тренажёры
• Научные — модели физических, химических процессов
• Игровые — компьютерные игры, экономические игры
• Имитационные — моделирование поведения сложных систем

По фактору времени:

• Статические — описывают состояние объекта в данный момент
• Динамические — описывают изменение объекта во времени

Табличные модели

Табличная модель — представление информации в виде таблицы, где строки соответствуют объектам, а столбцы — их свойствам.

Виды таблиц:

• Таблица «объект-свойство» — в строках объекты, в столбцах свойства (например, страны: название, столица, население)
• Таблица «объект-объект» — отражает связи между объектами (например, таблица расстояний между городами)

Пример таблицы «объект-свойство»:

Город	Столица	Население (млн)	Площадь (км²)
Москва	Россия	12,6	2 561
Токио	Япония	13,9	2 194
Пекин	Китай	21,5	16 410

Пример таблицы «объект-объект» (расстояния):

	Москва	С-Петербург	Казань
Москва	0	700	820
С-Петербург	700	0	1 500
Казань	820	1 500	0

Математические модели

Математическая модель — описание объекта с помощью математических формул и уравнений.

Примеры математических моделей:

Задача	Модель	Формула
Площадь круга	Геометрическая	S = π × r²
Движение тела	Физическая	S = v × t + (a × t²) / 2
Банковский вклад	Экономическая	S = P × (1 + r)ⁿ
Рост популяции	Биологическая	N = N₀ × eᵏᵗ

Пример: расчёт стоимости кредита

Модель аннуитетного платежа:

П = К × (r × (1+r)ⁿ) / ((1+r)ⁿ − 1)

где К — сумма кредита, r — месячная ставка, n — количество месяцев.

Пример: модель «хищник — жертва»

# Модель Лотки-Вольтерры
# x — число жертв, y — число хищников
dx/dt = a*x - b*x*y    # рост жертв, вымирание от хищников
dy/dt = c*x*y - d*y     # рост хищников, вымирание без пищи

Эта модель описывает циклические колебания популяций в экосистеме.

Практические задания