4.1. Системы счисления
Раздел 4. Математические основы информатики (6 часов)
- Понятие системы счисления
- Десятичная система счисления
- Двоичная система счисления
- Восьмеричная система
- Шестнадцатеричная система
- Перевод в десятичную систему
- Перевод из десятичной системы
- Перевод между 2, 8 и 16 системами
- Арифметика в двоичной системе
- Представление в памяти компьютера
- Применение систем счисления
Понятие системы счисления
Система счисления — это знаковая система, в которой числа записываются по определённым правилам с помощью символов алфавита, называемых цифрами.
| Тип | Описание | Примеры |
|---|---|---|
| Непозиционные | Значение цифры не зависит от позиции | Римская (I, V, X, L, C, D, M) |
| Позиционные | Значение цифры зависит от разряда | Десятичная, двоичная, 8-ричная, 16-ричная |
Десятичная система счисления
Десятичная система (основание 10) — привычная нам система. Цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Десятичная система — позиционная: одна и та же цифра получает разное значение в зависимости от позиции.
Двоичная система счисления
Двоичная система (основание 2) — используется в компьютерах. Цифры: 0, 1.
Пример: 1101₂ = 1×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ = 8 + 4 + 0 + 1 = 13₁₀
| Степень | 2⁰ | 2¹ | 2² | 2³ | 2⁴ | 2⁵ | 2⁶ | 2⁷ | 2⁸ | 2⁹ | 2¹⁰ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Значение | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 |
Восьмеричная система
Восьмеричная система (основание 8). Цифры: 0–7.
Пример: 237₈ = 2×8² + 3×8¹ + 7×8⁰ = 128 + 24 + 7 = 159₁₀
Шестнадцатеричная система
Шестнадцатеричная система (основание 16). Цифры: 0–9, A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15.
Пример: 3F₁₆ = 3×16¹ + 15×16⁰ = 48 + 15 = 63₁₀
Перевод в десятичную систему
Алгоритм: Записать число в развёрнутую форму — каждую цифру умножить на «вес» её разряда и сложить.
Пример 1: Перевести 1101₂ в десятичную:
1×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ = 8 + 4 + 0 + 1 = 13₁₀
Пример 2: Перевести 237₈ в десятичную:
2×8² + 3×8¹ + 7×8⁰ = 128 + 24 + 7 = 159₁₀
Перевод из десятичной системы
Алгоритм: Многократное деление на основание системы. Остатки от деления записываются в обратном порядке.
Пример: Перевести 159₁₀ в восьмеричную:
| Деление | Частное | Остаток |
|---|---|---|
| 159 ÷ 8 | 19 | 7 |
| 19 ÷ 8 | 2 | 3 |
| 2 ÷ 8 | 0 | 2 |
Записываем остатки снизу вверх: 159₁₀ = 237₈
🧪 Попробуйте сами
Переведите 255₁₀ в двоичную систему.
Перевод между 2, 8 и 16 системами
Перевод между системами с основаниями 2, 8 и 16 выполняется группированием бит:
Триады (двоичная → восьмеричная):
Группируем биты по 3 справа налево:
11010100₂ = 011 010 100 = 324₈
Тетрады (двоичная → шестнадцатеричная):
Группируем биты по 4 справа налево:
11010100₂ = 1101 0100 = D4₁₆
| Двоичная триада | 8-ричная | Двоичная тетрада | 16-ричная |
|---|---|---|---|
| 000 | 0 | 0000 | 0 |
| 001 | 1 | 0001 | 1 |
| 010 | 2 | 0010 | 2 |
| 011 | 3 | 0011 | 3 |
| 100 | 4 | 0100 | 4 |
| 101 | 5 | 0101 | 5 |
| 110 | 6 | 0110 | 6 |
| 111 | 7 | 0111 | 7 |
| 1000 | 8 | ||
| 1001 | 9 | ||
| 1010 | A | ||
| 1011 | B | ||
| 1100 | C | ||
| 1101 | D | ||
| 1110 | E | ||
| 1111 | F |
Арифметика в двоичной системе
Правила сложения:
| 0 + 0 = 0 | 0 + 1 = 1 | 1 + 0 = 1 | 1 + 1 = 10 (записываем 0, перенос 1) |
|---|
Пример: 1011₂ + 1101₂ = 11000₂
1011 + 1101 ------ 11000
🔢 Калькулятор систем счисления
Представление информации в памяти компьютера
Память компьютера состоит из ячеек, каждая из которых хранит набор бит.
| Единица | Размер | Примерное значение |
|---|---|---|
| 1 бит | 0 или 1 | Одна двоичная цифра |
| 1 байт | 8 бит | Один символ (буква, цифра) |
| 1 килобайт (КБ) | 1024 байта | ~1 страница текста |
| 1 мегабайт (МБ) | 1024 КБ | ~ небольшая программа |
| 1 гигабайт (ГБ) | 1024 МБ | ~ фильм в хорошем качестве |
Применение систем счисления
| Область | Система | Пример |
|---|---|---|
| Цвета в HTML/CSS | 16-ричная | #FF5733 — оранжевый цвет |
| MAC-адреса | 16-ричная | A4:5E:60:C1:2B:8F |
| IP-адреса | Десятичная | 192.168.1.1 |
| Коды символов | 16-ричная | Unicode: 0410 = «А» |
| Файловые системы | 16-ричная | Размеры файлов, секторы диска |